三角形ABC中,∠B=2∠A,BC=2,AB=2+根号3,求∠A
问答/430℃/2025-04-05 02:58:14
优质解答：
∠C=180°-∠B-∠A=180°-3∠A
简写C=180°-B-A=180°-3A
根据正弦定理
BC/sinA=AC/sinB=AB/sinC
2/sinA=(2+√3)/sinC
2/sinA=(2+√3)/sin(180°-3A)
2/sinA=(2+√3)/sin3A
2sin3A=(2+√3)sinA
2sin3A-(2+√3)sinA=0
3sinA-4sin³A -(2+√3)sinA=0
(3-4sin²A -2-√3)sinA=0
(1-4sin²A-√3)sinA=0
sinA=0
A=0舍去
1-4sin²A-√3=0
sin²A=(1-√3)/4
sinA=±√(1-√3)/2
∠A=arcsin（±√(1-√3)/2）
∠B=2∠A,BC=2,AB=2+√3
根据正弦定理
BC/sinA=AC/sinB=AB/sinC
BC/sinA=AC/sin2A
AC=BCsin2A/sinA=2×2sinAcosA/sinA=4cosA
根据余弦定理
BC² =AB²+AC²-2×AC×AB·cosA
2² =(2+√3)²+AC²-2×AC²(2+√3)/4
4 =(4+2√3+3)+AC²-AC²(1+√3/2)
4 =7+2√3+AC²(1-1-√3/2)
3+2√3-AC²(√3/2)=0
6+4√3-√3AC²=0
2√3+4-AC²=0
AC²=(2√3+4)
AC=√(2√3+4)
cosA=AC/4= √(2√3+4)/4
∠A=arccos( √(2√3+4)/4)