数学已知数列{an}与圆C1：x2+y2-2anx+2an+1y-1=0和圆C2：x2+y2+2x+2y-2=0

数学已知数列{an}与圆C1：x2+y2-2anx+2an+1y-1=0和圆C2：x2+y2+2x+2y-2=0

已知数列{an}与圆C1：x2+y2-2anx+2an+1y-1=0和圆C2：x2+y2+2x+2y-2=0,若圆C1与圆C2交于A,B两点且这两点平分圆C2的周长．（1）求证：数列{an}是等差数列；（2）若a1=-3,则当圆C1的半径最小时,求出圆C1的方程．（3）若圆C3为（2）中求出的圆C1的同心圆,且半径为2.设P为平面上的点,满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2,它们分别与圆C2和C3相交,且直线l1被圆C2截得的弦长与直线l2被圆C3截得的弦长相等,试求所有满足条件的点P的坐标（前两题做铺垫,关键是第三题,）

问答/472℃/2024-07-05 17:51:39

优质解答：

（1）圆C1：x2+y2-2anx+2ay-1=0①

圆C2：x2+y2+2x+2y-2=0,②

②-①,(2+2an)x+(2-2a)y-1=0,③

圆C1与圆C2交于A,B两点且这两点平分圆C2的周长,

∴AB过圆C2的圆心(-1,-1),代入③整理得a-an=5/2,

∴数列{an}是等差数列.

（2）a1=-3,

∴an=-3+5(n-1)/2=(5n-11)/2,

a=(5n-6)/2,

圆C1的半径r(n)=√[an^+a^+1]=(1/2)√（50n^-170n+161),

n=2时r(n)最小,这时圆C1：x^2+y^2+x+4y-1=0.

(3)圆C3：(x+1/2)^2+(y+2)^=4,

圆C2：(x+1)^2+(y+1)^2=4,

设P(p,q),l1:y-q=k(x-p),l2:y-q=(-1/k)(x-p),

圆C2,C3是等圆,直线l1被圆C2截得的弦长与直线l2被圆C3截得的弦长相等,

l1的弦心距=l2的弦心距,

|k(-1-p)+1+q|/√(1+k^2)=|(1/k)(-1/2-p)-2-q|/√(1+1/k^2),

|k(-1-p)+1+q|=|-1/2-p+k(-2-q)|,

k(-1-p)+1+q=土[-1/2-p+k(-2-q)],

k(1-p+q)=-3/2-p-q,或k(-3-p-q)+1/2-p+q=0,对任k成立,

∴1-p+q=0,-3/2-p-q=0,或-3-p-q=0,1/2-p+q=0,

分别解得p=-1/4,q=-5/4;或p=-5/4,q=-7/4.

∴P(-1/4,-5/4)或（-5/4,-7/4).

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