已知曲线C:x²+y²-4ax+2ay-20+20a=0

已知曲线C:x²+y²-4ax+2ay-20+20a=0

1,证明不论a取何值,曲线C必过定点,并求顶点坐标?

2,当a≠2时,证明曲线是一个是圆,且于圆心在一条直线上?

问答/331℃/2025-02-02 03:28:11

优质解答：

证1.x²+y²-4ax+2ay-20+20a=(x²+y²-20)+2a(y-2x+10)=0

设有定点C坐标为（x,y),则必有

y-2x+10=0

x²+y²-20=0

解得x=4,y=-2

所以存在C点且坐标为(4,-2)

2.x²+y²-4ax+2ay-20+20a

=(x²-4ax+4a²)+(y²+2ay+a²)-(5a²-20a+20)

=(x-2a)²+(y+a)²-5(a-2)²=0

即(x-2a)²+(y+a)²=5(a-2)²

当a≠2时,5(a-2)²>0

曲线是个以(2a,-a)为圆心,(√5)|a-2|为半径的圆

是不是圆心,原点,定点在一直线上?

设圆心为A,则A的坐标为（2a,-a）,直线OA的斜率为-a/2a=-1/2

直线OC的斜率为-2/4=-1/2

斜率一样,又同过原点,所以直线OA和直线OC重叠

即圆心,原点,定点在一直线上

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