已知数列an中a1=6/7,a(n+1)=3an/a(n)+1 求an的通项公式

已知数列an中a1=6/7,a(n+1)=3an/a(n)+1 求an的通项公式

2 证明对任意x>0 an>=(1/1+x)-1/(1+x^2)*(2/3^n-1/2-x) n属于N+ 大神 第二问详解

问答/186℃/2024-02-07 18:49:10

优质解答：

1.由a=3an/(an+1)得

1/a=1/3+(1/3)/an,

变形得1/a-1/2=(1/3)(1/an-1/2),

∴1/an-1/2=(1/3)^(n-1)*(1/a1-1/2)=2/3^n,

∴1/an=2/3^n+1/2,

∴an=1/(2/3^n+1/2)=2*3^n/(4+3^n).

2.命题变为对任意x>0,n∈N+,1/(2/3^n+1/2)>=1/(1+x)-(2/3^n-1/2-x)/(1+x^2),

去分母得(1+x)(1+x^2)>=[1+x^2-(1+x)(2/3^n-1/2-x)](2/3^n+1/2),

整理得1+x+x^2+x^3>=[2+2x+2x^2-(1+x)(2/3^n+1/2)](2/3^n+1/2),①

设y=2/3^n+1/2,则y的值域是{7/6,13/18,……},①变为

1+x+x^2+x^3>=[2+2x+2x^2-y(1+x)]y,

(1+x)y^2-(2+2x+2x^2)y+1+x+x^2+x^3>=0,

△/4=(1+x+x^2)^2-(1+x)(1+x+x^2+x^3)

=1+2x+3x^2+2x^3+x^4

-1-2x-2x^2-2x^3-x^4

=x^2,

y>=(1+2x+x^2)/(1+x)=1+x,或y=√2,或y0,n∈N+,1/(2/3^n+1/2)>=1/(1+x)-(2/3^n-1/2-x)/(1+x）^2, 去分母得(1+x)^2>=(1+x-2/3^n+1/2+x)(2/3^n+1/2), 设y=2/3^n+1/2,则（1+x)^2>=(2+2x-y)y, 变为y^2-2(1+x)y+(1+x)^2>=0, 配方得（y-1-x)^2>=0, 这显然成立，所以命题成立.

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