（2014•河南二模）已知函数f（x）=（ax+1）ln（x+1）-x．
（2014•河南二模）已知函数f（x）=（ax+1）ln（x+1）-x．
（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；
（2）求证：当x＞0时 1ln(x+1)−1x＜12
问答/171℃/2024-02-05 02:42:59
优质解答：
（1）当a=1时，f（x）=（x+1）ln（x+1）-x，则f′（x）=ln（x+1）
令f′（x）＞0，可得x＞0，令f′（x）＜0，可得-1＜x＜0，
∴函数的单调增区间为（0，+∞），单调减区间为（-1，0）；
（2）证明：当x＞0时，欲证
1
ln(x+1)−
1
x＜
1
2恒成立，只需证明当x＞0时，ln(x+1)＞
2x
x+2
构造函数g（x）=ln(x+1)−
2x
x+2，则g′（x）=
1
x+1−
4
(x+2)2=
x2
(x+1)(x+2)2＞0
∴g（x）=ln(x+1)−
2x
x+2在（0，+∞）上单调递增
∴g（x）＞g（0）=0
∴当x＞0时，ln(x+1)＞
2x
x+2
∴当x＞0时，
1
ln(x+1)−
1
x＜
1
2恒成立；
（3）(1+
1
n)n+a≥e等价于（n+a）ln（1+
1
n）≥1
∴a≥
1
ln(1+
1
n)−n
∵当x＞0时，
1
ln(x+1)−
1
x＜
1
2恒成立，∴
1
ln(1+
1
n)−n＜
1
2
∴a≥
1
2
∴常数a的最小值为
1
2．
试题解析：
（1）求导函数，利用导数的正负，可得f（x）的单调区间；
（2）当x＞0时，欲证1ln(x+1)−1x＜12恒成立，只需证明当x＞0时，ln(x+1)＞2xx+2，构造函数，确定函数的单调性，即可证得结论；
（3）(1+1n)n+a≥e等价于（n+a）ln（1+1n）≥1，分离参数，利用（2）的结论，即可求常数a的最小值．
名师点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
考点点评： 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，考查恒成立问题，属于中档题．