已知实数,x、y、z满足x+y+z=1,求x²+4y²+9z²的最小值
问答/156℃/2025-03-19 23:21:19
优质解答：
【法一】
利用柯西不等式得：
[1²+(1/2)²+(1/3)²][x²+(2y)²+(3z)²]≥(x+y+z)²
即 49/36 (x²+4y²+9z²)≥(x+y+z)²
x²+4y²+9z² ≥36(x+y+z)²/49
将x+y+z=1代入上式得：
x²+4y²+9z²≥36×1/49=36/49
答案：x²+4y²+9z²的最小值36/49
【法二】
构造向量a=(1,1/2,1/3)
b=(x,2y,3z)
根据向量数量积性质
a*b≤|a||b|
即(1,1/2,1/3)(x,2y,3z)≤√(1+1/2²+1/3²)×√(x²+4y²+9z²)
x+y+z≤√(49/36) ×√(x²+4y²+9z²)
1≤√(49/36) ×√(x²+4y²+9z²)
两边同时平方得：
1≤49/36 (x²+4y²+9z²)
所以x²+4y²+9z²≥36/49
故最小值为36/49