求微分方程y"-5y'+6y=3x^3*e^4x+2x^2*e^3x+x通解
求微分方程y"-5y'+6y=3x^3*e^4x+2x^2*e^3x+x通解
好像很难的样子没有头绪
问答/232℃/2025-04-01 01:39:56
优质解答：
这种常系数线性微分方程有确定的解法,大致步骤如下:
1.求对应齐次方程y"-5y'+6y = 0的通解.其特征方程λ²-5λ+6 = 0有两个单实根2和3,
因此方程的通解就是y = Ae^(2x)+Be^(3x).
2.求出原方程的一个特解.
虽然有通用公式可以求出特解,但是公式不好记,计算也比较麻烦.
所以一般参照非齐次项来猜测特解的形式,然后用待定系数法求解.
本题的非齐次项3x³e^(4x)+2x²e^(3x)+x比较复杂,共有3项.
但是只需分别对每一项求出特解,然后加起来就可以了(证明很容易).
1) y"-5y'+6y = 3x³e^(4x).
根据经验(其实也有理论基础),方程具有y = (ax³+bx²+cx+d)e^(4x)形式的特解.
代入方程左端比较两边,解得a = 3/2,b = -27/4,c = 63/4,d = -135/8.
即得特解y1 = 3/8·(4x³-18x²+42x-45)e^(4x).
2) y"-5y'+6y = 2x²e^(3x).
和上面类似,但由于3是特征方程的单根,特解的次数要升高1次:
方程具有y = (ax³+bx²+cx)e^(3x)形式的特解 (常数项可以不要).
同样代入求得特解y2 = 2/3·(x³-3x²+6x)e^(3x).
3) y"-5y'+6y = x.
容易想到方程具有y = ax+b形式的特解.
代入求得特解y3 = (6x+5)/36.
于是原方程的一个特解就是:
y0 = y1+y2+y3 = 3/8·(4x³-18x²+42x-45)e^(4x)+2/3·(x³-3x²+6x)e^(3x)+(6x+5)/36.
3.最后写出原方程的通解:y = y0+Ae^(2x)+Be^(3x)
= 3/8·(4x³-18x²+42x-45)e^(4x)+2/3·(x³-3x²+6x)e^(3x)+(6x+5)/36+Ae^(2x)+Be^(3x).
题目有固定套路所以不难,但是计算真是很繁.