定义在R上的函数f（x）满足f（4）=1，f′（x）为f（x）的导函数，已知函数y=f′（x）的图象如图所示，若两正数a

定义在R上的函数f（x）满足f（4）=1，f′（x）为f（x）的导函数，已知函数y=f′（x）的图象如图所示，若两正数a、b满足f（2a+b）＜1，则b+2a+2

问答/399℃/2025-02-24 16:07:23

优质解答：

由图可知，当x＞0时，导函数f′（x）＞0，原函数单调递增

∵两正数a，b满足f（2a+b）＜1，

∴0＜2a+b＜4，

∴b，a满足不等式

a＞0

b＞0

2a+b＜4，其对应的区域如图阴影部分（不包括边界）

∴

b+2

a+2表示过点P（-2，-2）与区域内一点M连线的斜率

由图知，当点M在A时，

b+2

a+2取到最大值为3，当点M在点B时，取到最小值

1

2

由于区域不包括边界，故

b+2

a+2的取值范围是(

1

2，3)

故答案为：(

1

2，3)．

试题解析：

先根据导函数的图象判断原函数的单调性，从而确定a、b的范围得到答案．

名师点评：

本题考点： 函数的单调性与导数的关系；简单线性规划．

考点点评： 本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，根据导函数的符号判定函数的单调性是解题的关键，属中档题．

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