AD为RT三角形ABC斜边BC上的高.角ABD的平分线交AD于M交AC于P.角DAC的平分线交BP于Q,
AD为RT三角形ABC斜边BC上的高.角ABD的平分线交AD于M交AC于P.角DAC的平分线交BP于Q,
求证AQ=QD
问答/278℃/2025-04-05 16:15:53
优质解答：
∵∠PBA＝∠MBD、∠BAP＝∠BDM＝90°,∴△ABP∽△DBM,∴∠APM＝∠BMD,
又∠BMD＝∠AMP,∴∠APM＝∠AMP,∴AP＝AM,而∠PAQ＝∠MAQ,∴AQ⊥BQ.
∵AQ⊥BQ、AD⊥BD,∴A、B、D、Q共圆,∴∠QBD＝∠DAQ、∠ABQ＝∠ADQ,
又∠ABQ＝∠QBD,∴∠DAQ＝∠ADQ,∴AQ＝QD.
再问： ∵AQ⊥BQ、AD⊥BD，∴A、B、D、Q共圆，∴∠QBD＝∠DAQ、∠ABQ＝∠ADQ是根据什么定理得出的，初二没学到过
再答： 原来提供的答案还可以简洁些，具体如下： ∵∠PBA＝∠MBD、∠BAP＝∠BDM＝90°，∴△ABP∽△DBM， ∴∠APM＝∠BMD，又∠BMD＝∠AMP，∴∠APM＝∠AMP，∴AP＝AM， 而∠PAQ＝∠MAQ，∴AQ⊥BQ。 ∵AQ⊥BQ、AD⊥BD，∴A、B、D、Q共圆， 又∠ABQ＝∠QBD，∴AQ＝QD。 考虑到初二还没学习到相关的知识，现用另法证明如下： 延长AQ交BC于E。 ∵∠PBA＝∠MBD、∠BAP＝∠BDM＝90°，∴△ABP∽△DBM， ∴∠APM＝∠BMD，又∠BMD＝∠AMP，∴∠APM＝∠AMP，∴AP＝AM， 而∠PAQ＝∠MAQ，∴AE⊥BQ。 由∠ABQ＝∠EBQ、AE⊥BQ，得：AQ＝QE。 由AD⊥DE、AQ＝QE，得：AQ＝QD。