a+b=1 1/a+2/b的最小值为什么不能直接令1/a=2/b 所以b=2a a=1/3 然后均值不等式

问答/377℃/2024-02-23 09:18:38

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在不等式：1/a+2/b》2√(2/ab) 中,a>0、b>0

因为,当1/a=2/b ,即：b=2a 时,取等号 但2√(2/ab) 不是1/a+2/b的最小值,因为2√(2/ab) 不是常数,它会随a、b的变化而变化.如你上面,当a=1/3时,b=2/3代入1/a+2/b得：1/a+2/b=3+3=6

而实际上,1/a+2/b=(a+b)/a+2(a+b)/b=3+b/a+2a/b》3+2√2

当且仅当,b/a=2a/b 时,取等号,即：b=√2a

因为,a+b=1, 所以,a+√2a=1

所以,a= √2-1, b=2-√2

所以,当 a= √2-1, b=2-√2 时,1/a+2/b的最小值=3+2√2

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