帮我做几道 "定积分" 我是专升本的同学,高数自己复习的蛋疼啊,下面的几道题目一直想不出来.
问答/156℃/2024-08-30 07:53:41
优质解答：
1、左边=∫ [0-->a] f(x)dx
=∫ [0-->a/2] f(x)dx +∫ [a/2-->a] f(x)dx
后一个做换元,x=a-t,dx=-dt,x：[a/2-->a],则 t：[a/2-->0]
上式化为
=∫ [0-->a/2] f(x)dx -∫ [a/2-->0] f(a-t)dt 将t换回x,交换上下限
=∫ [0-->a/2] f(x)dx +∫ [0-->a/2] f(a-x)dx
=右边
2、换元,令√(e^x-1)=t,则x=ln(t^2+1),dx=2t/(t^2+1)dt,x：ln2-->2ln2,t：1-->√3
左边=∫[1-->√3] (1/t)*2t/(t^2+1)dt=2∫[1-->√3] 1/(t^2+1)dt=2arctant [1-->√3]
=2(π/3-π/4)=π/6
3、1/[x^2(x+1)]=A/x+B/x^2+C/(x+1),通分比较系数后得
A=-1,B=1,C=1
原式=∫ 1/[x^2(x+1)]dx=∫ (-1/x+1/x^2+1/(1+x))dx
=-lnx-1/x+ln(1+x)=ln(1+1/x)-1/x [1-->+∞)
=1-ln2