已知抛物线y∧2=2px(p>0)的焦点为F,一直线L与抛物线交于A、B两点,AF+BF=8,且AB的垂直平分线恒过定点

已知抛物线y∧2=2px(p>0)的焦点为F,一直线L与抛物线交于A、B两点,AF+BF=8,且AB的垂直平分线恒过定点S（6,0）,求抛物线方程

问答/129℃/2025-03-05 03:05:19

优质解答：

设A（x1,y1）,B(x2,y2),准线x=－p/2,

焦半径AF=x1+p/2,BF=x2+p/2,AF+BF=x1+x2+p=8, x1+x2 =8- p……（1）

设直线y=kx+b,代入得

k^2x^2+(2kb-2p)x+b^2=0,得

x1+x2=(2p-2kb)/k^2

x1x2=b^2/k^2

得中点（(p-kb)/k^2,p/k）,

得中垂线方程y- p/k=-1/k(x-(p-kb)/k^2)

过点(6,0)

则6-p=(p-kb)/k^2

又由（1）得 (p-kb)/k^2=(x1+x2)/2=(8- p)/2=4-p/2

所以6-p=4-p/2,则p=4

所以y∧2=8x

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