数学中数列的题,有看不懂的可以问

数学中数列的题,有看不懂的可以问

数列{An}的首项A1=2/3,A（n+1）=2An/(An+1),n=1,2,3...

(1)求证数列{（1/An）-1}是等比数列；

（2）{n/An}的前n项和Sn.

问答/455℃/2024-02-25 16:49:02

优质解答：

(1)a(n+1)=(2an)/(an+1)

1/a(n+1)=(an+1)/2an=(1/2)*(1+1/an)

1/a(n+1)-1=(1/2)*(1/an-1)

所以｛1/an-1}为等比数列

(2)｛1/an-1}为等比数列

首项为1/a1-1=1/2 公比为1/2

所以：1/an-1=1/2*(1/2)^(n-1)=1/2^n

1/an=1+1/2^n

记bn=n/an=n*(1/an)=n*(1+1/2^n)=n+n/2^n

Sn=1+1/2+2+2/2^2+..+n+n/2^n

=1+2+..+n+1/2+2/2^2+...+n/2^n

其中1+2+...+n=n*(n+1)/2

记S=1/2+2/2^2+..+n/2^n

则S/2=1/2^2+2/2^3.+(n-1)/2^n+n/2^(n+1)

相减：S/2=1/2+1/2^2+.+1/2^n-n/2^(n+1)

=1-1/2^n-n/2^(n+1)

S=2-1/2^(n-1)-n/2^n

所以：Sn=1+1/2+2+2/2^2+..+n+n/2^n

=1+2+..+n+1/2+2/2^2+...+n/2^n

=n*(n+1)/2+2-1/2^(n-1)-n/2^n

=(n^2+n+4)/2-1/2^(n-1)-n/2^n

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