如图，在平面直角坐标系中，已知A、B、C三点的坐标分别为A（-2，0），B（6，0），C（0，3）．

如图，在平面直角坐标系中，已知A、B、C三点的坐标分别为A（-2，0），B（6，0），C（0，3）．

（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；

（2）过C点作CD平行于x轴交抛物线于点D，写出D点的坐标，并求AD、BC的交点E的坐标；

（3）若抛物线的顶点为P，连接PC、PD，判断四边形CEDP的形状，并说明理由．

问答/367℃/2025-03-25 04:45:56

优质解答：

（1）由于抛物线经过点C（0，3），

可设抛物线的解析式为y=ax2+bx+3（a≠0），

则

4a−2b+3＝0

36a+6b+3＝0，

解得

a＝−

1

4

b＝1；

∴抛物线的解析式为y＝−

1

4x2+x+3．（4分）

（2）∵D纵=C纵=3，

∴D横=4

即可得D的坐标为D（4，3），（5分）

直线AD的解析式为y＝

1

2x+1，

直线BC的解析式为y＝−

1

2x+3，

由

y＝

1

2x+1

y＝−

1

2x+3求得交点E的坐标为（2，2）．（8分）

（3）连接PE交CD于F，

P的坐标为（2，4），

又∵E（2，2），C（0，3），D（4，3），

∴PF=EF=1，CF=FD=2，且CD⊥PE，

∴四边形CEDP是菱形．（12分）

试题解析：

（1）由A、B、C三点的坐标适合抛物线的解析式，从而用待定系数法求出抛物线的解析式；

（2）联立直线AD、BC的解析式，求出交点E的坐标；

（3）四边形CEDP为菱形，可根据P、C、E、D四点的坐标，证四边形CEDP的对角线互相垂直平分．

名师点评：

本题考点： 二次函数综合题．

考点点评： 此题考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点坐标的求法以及菱形的判定方法，难度不大，细心求解即可．

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