已知直线y=2x+k被抛物线x2=4y截得的弦长AB为20，O为坐标原点．

已知直线y=2x+k被抛物线x2=4y截得的弦长AB为20，O为坐标原点．

（1）求实数k的值；

（2）问点C位于抛物线弧AOB上何处时，△ABC面积最大？

问答/394℃/2025-03-15 13:09:16

优质解答：

（1）将y=2x+k代入x2=4y得x2-8x-4k=0，（2分）

由△=64+16k＞0可知k＞-4，

另一方面，弦长AB=

5×

64+16k＝20，解得k=1；（6分）

（2）当k=1时，直线为y=2x+1，要使得内接△ABC面积最大，

则只须使得y′C＝

1

4×2xC＝2，（8分）

即xC=4，即C位于（4，4）点处．（10分）

试题解析：

（1）先把直线方程和抛物线方程联立消去y，再利用弦长公式就可求出实数k的值；

（2）△ABC面积最大，转化为点C到直线AB的距离最长，所以点C在与直线AB平行的抛物线的切线上，利用斜率相等就可求出点C的坐标．

名师点评：

本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评： 本小题综合考查平面解析几何知识，主要涉及平面直角坐标系中的两点间距离公式、直线的方程与斜率、抛物线上的点与曲线方程的关系，考查运算能力与思维能力、综合分析问题的能力．

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