设函数f（x）=x3+ax2-a2x+m（a＞0）

设函数f（x）=x3+ax2-a2x+m（a＞0）

（Ⅰ）若a=1时函数f（x）有三个互不相同的零点，求m的范围；

（Ⅱ）若函数f（x）在[-1，1]内没有极值点，求a的范围；

（Ⅲ）若对任意的a∈{3，6}，不等式f（x）≤1在x∈[-2，2]上恒成立，求实数m的取值范围．

问答/379℃/2025-01-19 17:22:15

优质解答：

（Ⅰ）当a=1时f（x）=x3+x2-x+m，

∵f（x）有三个互不相同的零点，所以f（x）=x3+x2-x+m，

即m=-x3-x2+x有三个互不相同的实数根．

令g（x）=-x3-x2+x，则g′（x）=-3x2-2x+1=（x+1）（-3x+1）．

∵g（x）在（-∞，-1）和（

1

3，+∞）均为减函数，在（-1，

1

3）为增函数，

则g（-1）为极小值且为-1，g（

1

3）为极大且为

5

27．

∴m的取值范围（-1，

5

27）；

（Ⅱ）由题可知，函数f（x）在[-1，1]内没有极值点等价为

方程f′（x）=3x2+2ax-a2=0在[-1，1]上没有实数根，

∵

f′(1)＝3+2a−a2≤0

f′(−1)＝3−2a−a2≤0

a＞0，∴a≥3；

（Ⅲ）∵f′（x）=3x2+2ax-a2=3（x-

a

3）（x+a），且a＞0，

∴函数f（x）的递减区间为（-a，

a

3），递增区间为（-∞，-a）和（

a

3，+∞）；

当a∈[3，6]时，

a

3∈[1，2]，-a≤-3，又x∈[-2，2]，

∴f（x）max=max{f（-2），f（2）}而f（2）-f（-2）=16-4a2＜0，

∴f（x）max=f（-2）=-8+4a+2a2+m，

又∵f（x）≤1在x∈[-2，2]上恒成立，

∴f（x）max≤1，即-8+4a+2a2+m≤1即m≤9-4a-2a2在a∈[3，6]恒成立．

∵9-4a-2a2的最小值为-87，

∴m≤-87．

试题解析：

（Ⅰ）运用分离参数，得到m=-x3-x2+x有三个互不相同的实数根．令g（x）=-x3-x2+x，求出极值，只要m介于极大和极小之间即可；

（Ⅱ）原问题等价为方程f′（x）=3x2+2ax-a2=0在[-1，1]上没有实数根，运用二次方程实根分布的知识，即可得到；

（Ⅲ）原问题转化为对任意的a∈{3，6}，不等式f（x）max≤1在x∈[-2，2]上成立，运用导数求出f（x）在[-2，2]上的最值即可．

名师点评：

本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．

考点点评： 本题考查导数在函数中的综合应用：求单调区间、求最值，考查二次方程实根的分布，以及不等式恒成立问题，转化为求最值问题，属于中档题．

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