我要16届希望杯2试详解.

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优质解答：

第十六届“希望杯”全国数学邀请赛

初二 第2试

2005年4月17日 上午8∶30至10∶30

一、选择题（每小题5分,共50分）以下每题的四个选项中,仅有一个是正确的,请将表示正确答案的英文字母填在每题后面的圆括号内.

1、若a,b均为正整数,m=ab(a＋b),则（ ）

A．m一定是奇数 B．m一定是偶数

C．只有当a,b均为偶数时,m是偶数 D．只有当a,b一个为偶数,另一个为奇数时,m是偶数

2、设 , ,则 等于（ ）

A． B．－ C．－3 D．3

3、Given a,b,c are positive integers,and a,b are prime numbers, ,then the value of is（ ）

A．14 B．13 C．12 D． 11

(英汉词典 positive integers：正整数. prime numbers：质数)_

4、购买铅笔7支,作业本3个,圆珠笔1支共需3元；购买铅笔10支,作业本4个,圆珠笔1支共需4元,则购买铅笔11支,作业本5个,圆珠笔2支共需（ ）

A．4.5元 B．5元 C．6元 D．6.5元

5、计算机将信息转换成二进制数来处理.二进制是“逢二进一”,如二进制数(1101)2转换成十进制数是1×23＋1×22＋0×21＋1×20=13,那么二进制数 转换成十进制数是（ ）

A．22004＋1 B．22005 C．22005－1 D．22005＋1

6、已知△ABC的三个内角的比是m∶(m＋1) ∶(m＋2),其中是m大于1的正整数,那么△ABC是（ ）

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形

7、已知△ABC的三条高的比是3∶4∶5,且三条边的长均为整数,则△ABC的边长可能是（ ）

A．10 B．12 C．14 D．16

8、已知两位数 能被3整除,它的十位数字与个位数字的乘积等于它的个位数字,且它的任意次幂的个位数字等于它的个位数字.这样的两位数共有（ ）

A．1个 B．3个 C．4个 D．5个

9、放成一排的2005个盒子中共有4010个小球,其中最左端的盒子中放了a个小球,最右端的盒子中放了b个小球,如果任何相邻的12个盒子中的小球共有24个,则（ ）

A．a=b=2 B．a=b=1 C．a=1,b=2 D．a=2,b=1

10、已知整数 , , 满足 ≤ ＜ ,且 那么x2＋y2＋z2的值等于（ ）

A．2 B．14 C．2或14 D．14或17

二、填空题（每小题5分,共50分.含两个空的小题,前空3分,后空2分.）

11、如果|a|=3,|b|=5,那么|a＋b|－|a－b|的绝对值等于 .

12、已知 ,则 = .

13、某汽车从A地驶向B地,若每分钟行驶a千米,则11点到达,若每分钟行驶 a千米,则11∶20时距离B地还有10千米；如果改变出发时间,若每分钟行驶 a千米,则11点到达,若每分钟行驶a千米,则11∶20时已经超过B地30千米.A、B两地的路程是 千米.

14、若 是一个六位数,其中a,b,c是三个互异的数字,且都不等于0,1,2,3,又M是7的倍数,那么M的最小值是 .

15、分解因式： .

16、若在凸n(n为大于3的自然数)边形的内角中,最多有M个锐角,最少有m个锐角,则M= ；

m= .

17、如图1,等腰Rt△ABC的直角边长为32,从直角顶点A作斜边BC的垂线交BC于D1,再从D1作D1D2⊥AC交AC于D2,再从D2作D2D3⊥BC交BC于D3,…,则AD1＋D2D3＋D4D5＋D6D7＋D8D9=

；D1D2＋D3D4＋D5D6＋D7D8＋D9D10= .

18、如图2,将三角形纸片ABC沿EF折叠可得图3(其中EF‖BC),已知图3的面积与原三角形的面积之比为3∶4,且阴影部分的面积为8平方厘米,则原三角形面积为 平方厘米.

19、如图4,△ABC中,BC∶AC=3∶5,四边形BDEC和ACFG均为正方形,已知△ABC与正方形BDEC的面积比是3∶5,那么△CEF与整个图形的面积比等于 .

20、如果正整数n有以下性质：n的八分之一是平方数,n的九分之一是立方数,它的二十五分之一是五次方数,那么n就称为“希望数”,则最小的希望数是 .

三、解答题（每题10分,共30分） 要求：写出推算过程.

21、图5是一个长为400米的环形跑道,其中A、B为跑道对称轴上的两点,

且A、B之间有一条50米的直线通道.甲、乙两人同时从A点出发,甲按

逆时针方向以速度v1沿跑道跑步,当跑到B点处时继续沿跑道前进,乙按

顺时针方向以速度v2沿跑道跑步,当跑到B点处时沿直线通道跑回A点处.

假设两人跑步时间足够长.求：

⑴如果v1∶v2=3∶2,那么甲跑了多少路程后,两人首次在A点处相遇?

⑵如果v1∶v2=5∶6,那么乙跑了多少路程后,两人首次在B点处相遇?

22、⑴如果a是小于20的质数,且 可化为一个循环小数,那么a的取值有哪几个?

⑵如果a是小于20的合数,且 可化为一个循环小数,那么a的取值有哪几个?

23、如图6,正三角形ABC的边长为a,D是BC的中点,P是AC边上的点,连结PB和PD得到△PBD.求：

⑴当点P运动到AC的中点时,△PBD的周长；

⑵△PBD的周长的最小值.

第十六届“希望杯”全国数学邀请赛

参考答案及评分标准

初中二年级 第2试

一、选择题（每小题5分）

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

答案 B C D B C A B C A A

二、填空题（每小题5分,含两个空的小题,前空3分,后空2分）

题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

答案 6

54 468321

3；0 31 ；31

16

215•320•512

三、解答题

21、⑴设甲跑了n圈后,两人首次在A点处相遇,再设甲、乙两人的速度分别为v1=3m,v2=2m,

由题意可得在A处相遇时,他们跑步的时间是 （2分）

是 （3分）

因为乙跑回到A点处,所以 应是250的整数倍,从而知n的最小值是15,（4分）

所以甲跑了15圈后,两人首次在A点处相遇 （5分）

⑵设乙跑了 米,甲跑了 米时,两人首次在B点处相遇,设甲、乙两人的速度分别为v1=5m,v2=6m,由题意可得 ,即 , （7分）

所以 ,即 (p,q均为正整数).

所以p,q的最小值为q=2,p=4, （8分）

此时,乙跑过的路程为250×4＋200=1200（米）. （9分）

所以乙跑了1200米后,两人首次在B点处相遇. （10分）

22、⑴小于20的质数有2,3,5,7,11,13,17,19 （2分）

除了2和5以外,其余各数的倒数均可化为循环小数, （4分）

所以a可以取：3,5,7,11,13,17,19. （5分）

⑵由⑴可知,只要合数a的因数中含有2或5以外的质数,那么该数的倒数均可化为循环小数,（8分）

所以a可以取：6,9,12,14,15,18. （10分）

23、⑴如图1,当点P运动到AC的中点时,BP⊥AC,DP‖AB, （2分）

所以 , , , （4分）

即△ABC的周长为BP＋DP＋BD= . （5分）

⑵如图2,作点B关于AC的对称点E,连结EP、EB、ED、EC,则PB＋PD=PE＋PD,因此ED的长就是PB＋PD的最小值,即当点P运动到ED与AC的交点G时,△PBD的周长最小. （7分）

从点D作DF⊥BE,垂足为F,因为BC=a,所以 , .

因为∠DBF=30°,所以 , ,

, . （9分）

所以△PBD的周长的最小值是 . （10分）

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