一道几何题 EFGH为正方形，AE=DH=FB=CG,求证ABCD为正方形 E在AD上H在DC上F在AB上G在

一道几何题

EFGH为正方形，AE=DH=FB=CG,求证ABCD为正方形 E在AD上H在DC上F在AB上G在BC上

问答/488℃/2024-05-08 18:27:29

首先证明A、B、C、D中必有一个直角.

用反证法.假设A、B、C、D都不是直角.

过E作AB的垂线段EP,使得P与F在AB同侧,且EP=ED.连接FP.

则角FEP和角HED同为角AEF的余角,因而相等.又因为EF=EH,EP=ED,所以三角形EPF和EDH全等.从而FP=HD=EA,且角FPE=角B.

此时,因为角B不是直角,所以FP是从F到EP作的斜线,其长度应该大于F到EP的距离.因此,F到EP的距离小于A到EP的距离（后者是AE=DH=FP）.

作射线AX平行于EP,使得X与F在AE的同侧.则F与EP在AX的同侧,因为在AX另一侧的点到EP的距离大于AE.这样,射线AF在直角EAX的内部,于是（原先的）角A是锐角.

同理,B、C、D都是锐角.但是这与四边形内角和公式矛盾（四锐角之和小于360度）.

现在,A、B、C、D中必有一个直角.不妨设为A.这样,角AEF和角BFG同为角AFE的余角,从而相等.而EF=FG,AE=BF,所以三角形AEF和BFG全等.于是,角B也是直角.如此类推,四个内角均为直角,所以ABCD是矩形.但是AB=AF+BF=BG+GC=BC,所以它是正方形.