已知函数f(x)=-3x^3+x的图像为曲线C.

已知函数f(x)=-3x^3+x的图像为曲线C.

（2）设点p为曲线c上任意一点,曲线c在点p（xo,yo）处切线为L1,直线L2为过点p的曲线c的另一条切线（切点异于点p）,切点为Q（x1,y1）,求证xo=-2x1；

（3）设直线L1与直线L2的夹角为φ,求tanφ的最大值

问答/292℃/2025-04-07 23:41:50

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（2）f'(x)=-9x^2+1,

P(x0,y0)为曲线C上任意一点,

∴y0=-3x0^3+x0,

同理y1=-3x1^3+x1,

L2:y-(-3x1^3+x1)=(-9x1^2+1)(x-x1)过点P,

∴-3x0^3+x0-(-3x1^3+x1)=(-9x1^2+1)(x0-x1),

x0≠x1,

两边约去（x0-x1),得

-3（x0^2+x0x1+x1^2)+1=-9x1^2+1,

化简得x0^2+x0x1-2x1^2=0,

∴x0=-2x1.

(3)L1的斜率k1=-9x0^2+1=-36x1^2+1,

L2的斜率k2=-9x1^2+1,

∴tanφ=|（k2-k1)/(1+k2k1)|=|27x1^2/[1+(-9x1^2+1)(-36x1^2+1)]|

=27x1^2/(2-45x1^2+324x1^4)

=27/[2/x^2+324x1^2-45]

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