已知a,b,x,y都是实数,且x>0,求参数a,b的一切取值,使方程组x2+y2=a|xy-1||xy+1|=b有唯一的

已知a,b,x,y都是实数,且x>0,求参数a,b的一切取值,使方程组x2+y2=a|xy-1||xy+1|=b有唯一的解·

问答/357℃/2025-01-06 20:10:47

优质解答：

为了50分,我干了!如果我是第一个答对的,你一定要加分给我.不许给别人!【可以按“时间排序”来确认这一点!】

观察式子

我们可以发现如下的巧妙性质：

将(x,y)(x,-y)带入,结果一模一样.一个成立另一个也铁定成立!

也就是说：

如果(x,y)(x,-y)是不同的两个点,那么它们要么都是根,要么都不是!

所以y = 0是这个唯一解的必然要求!

【以上是最关键的一步,以下是具体讨论】

将y = 0带入

x^2 = a = b

所以a = b

唯一解为（根号a,0）

下面讨论a的范围,让它的解唯一：

根据a = b

化简后的式子为

|xy^2 - 1| = 1

x^2 +y ^ 2 = b

xy^2 = 0或xy^2 = 2

其中xy^2 = 0可以得到我们的唯一解（因为x> 0）

xy^2 = 2

要它与x^2 +y ^ 2 = b无交点

画图可知：（说得好听点可以用“基本不等式”b = x^2 + y^ 2>=2xy=2根号2）

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