证明当x→0时无穷小量ln√（1+x/1-x）与x是等价无穷小

问答/279℃/2024-09-08 01:53:30

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lim(x→0) [ln√（1+x/1-x)] / x

=lim(x→0) (1/2x)*ln[(1+x)/(1-x)]

=1/2 lim(x→0) [ln(1+x)-ln(1-x)] / x

(因为x→0时,ln(1+x)→0、ln(1-x)→0 、 x→0,上下同时求导)

=1/2 lim(x→0) [ln(1+x)]'/x' -1/2 lim(x→0) [ln(1-x)]'/x'

=1/2 lim(x→0) 1/(1+x) -1/2 lim(x→0) [-1/(1-x)]

=1/2 [1/(1+0)] + 1/2 [1/(1-0)]

=1/2 + 1/2

=1

所以,当x→0时无穷小量ln√（1+x/1-x）与x是等价无穷小

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