一个直角三角形的三边长都是整数,且任两个整数都互质,若三角形的面积与周长的比值是一个完全平方数,求满足条件的三角形中面积

一个直角三角形的三边长都是整数,且任两个整数都互质,若三角形的面积与周长的比值是一个完全平方数,求满足条件的三角形中面积最小的三角形的三边长.

用本原勾股数求解！

问答/308℃/2025-01-12 13:21:19

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答：

利用本原勾股数原理,设a=m^2-n^2,b=2mn,c=m^2+n^2

依据题意：

k=(ab/2)/(a+b+c) 是完全平方数

=(m^2-n^2)mn/(2m^2+2mn)

=(m-n)(m+n)n/(2m+2n)

=(m-n)n/2

是完全平方数

三角形面积S=ab/2=(m^2-n^2)mn=(m-n)n(m+n)m最小

则：m-n、n、m+n、m能取得最小值即可

1）令m-n=1,n=2,则k=1满足题意

所以：m=3,n=2

所以：a=5,b=12,c=13,S=30

2）令m-n=2,n=1,则k=1满足题意

所以：m=3,n=1

所以：a=8,b=6,c=10,S=24

但是a、b、c是互质数

所以：a=5,b=12,c=13

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