已知抛物线的顶点在原点,焦点F在正半轴上,过点P(2,2),过F的直线交抛物线于A(x1,x2)B（x2,y2）两点.

已知抛物线的顶点在原点,焦点F在正半轴上,过点P(2,2),过F的直线交抛物线于A(x1,x2)B（x2,y2）两点.

（1）求抛物线的方程

（2）设直线l是抛物线的准线,求证：以AB为直径的圆与准线l相切

问答/128℃/2024-09-15 09:51:25

优质解答：

1、设抛物线方程为：y^2=2px,

2^2=2p*2,

p=1,

∴y^2=2x.

2、从A和B分别作准线的垂线AM,BN,垂足M、N,

取AB中点Q,作QH⊥准线 l,H为垂足,

根据抛物线定义,

|AM|=|AF|,

|BN|=|BF|,

|AM|+|BN|=|AB|,

QH是梯形AMNB的中位线,

|QH|=（|AM|+|BN|）/2|AB|/2,

若以|AB|为直径作圆,

则|HQ|是其半径,

无论AB位置如何变换,|QH|始终为|AB|/2,

且QH⊥准线l,

∴以AB为直径的圆与准线l相切.

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